No.767 配られたジャパリまん - yukicoder

フレンズの数K<=20なので、O(K2 * K)みたいな計算量で解けそう。

とりあえず自明に求まるものを求めてみる。

任意のフレンズの集合に対してそのフレンズのいるところを必ず通る経路をすべて求める。フレンズの位置の集合をSとする。Sのすべての要素をa[i]<=a[j]かつb[i]<=b[j]ならばi, jという順に並び変えられるならば、Sのすべてを通る経路がある。そうでなければ経路の数は0。

この経路の求め方を考えてみる。これは簡単で、Sの要素をたとえばi1,i2,i3としてこの順に並び変えられた時

(0, 0) => (a[i1], b[i1]) => (a[i2], b[i2]) => (a[i3], b[i3]) => (H, W)

の経路を見るだけ。つまり、「=>」の部分の経路の数を求めて掛けるだけ。上下方向の差をh, 左右方向の差をwとしてP(h, w)みたいなのを求めて積をとる。

このような経路の数をf(S)とする。ここでf(S)が表しているものを裏返しに考えてみる。フレンズ全体をUとしてそこからSを除いたU∖Sを見てみる。T⊆U∖Sとし、g(T)をTに含まれるフレンズだけを「通らない」経路の数とするとメビウス変換によりg(T)が求まる。

フレンズの集合Vについてh(V)をVのフレンズにジャパリまんを渡す経路の数とする。h(V)はVに含まれるフレンズのところをだけを「通ってもよい」経路ともいえる。そしてg(T)を裏返しに見れば、U∖Tだけを「通る」経路の数といえるのでゼータ変換により解が得られる。

namespace comb {
    const int N = 200005;
    mint fact[N];
    mint rev[N];

    void init() {
        fact[0] = 1;
        for (int i = 1; i < N; ++i)fact[i] = fact[i - 1] * i;
        for (int i = 0; i < N; ++i)rev[i] = fact[i].inverse();
    }

    mint C(int n, int r) {
        if (n < r)return 0;
        return fact[n] * rev[r] * rev[n - r];
    }
}

template<class Val>
vector<Val> zeta(vector<Val> f) {
    int len = (int)f.size();
    for (int i = 0; (1 << i) < len; ++i) {
        for (int S = i; S < len; ++S)if (S >> i & 1) {
            f[S] += f[S ^ 1 << i];
        }
    }
    return f;
}

template<class Val>
vector<Val> mobius(vector<Val> f) {
    int len = (int)f.size();
    for (int i = 0; (1 << i) < len; ++i) {
        for (int S = i; S < len; ++S)if (S >> i & 1) {
            f[S] -= f[S ^ 1 << i];
        }
    }
    return f;
}

void solve() {
    comb::init();
    
    int H, W, K;
    scanf("%d%d%d", &H, &W, &K);

    vector<tuple<int, int, int> > abk(K);
    rep(i, K) {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        abk[i] = tie(a, b, i);
    }
    sort(all(abk));

    vector<mint> f(1 << K);
    vector<pii> p;
    rep(S, 1 << K) {
        p.clear();
        p.emplace_back(0, 0);
        int T = (1 << K) - 1;
        rep(i, K) if (S >> i & 1) {
            int a, b, k;
            tie(a, b, k) = abk[i];
            p.emplace_back(a, b);
            T ^= 1 << k;
        }
        p.emplace_back(H, W);

        mint res = 1;
        rep(i, sz(p) - 1) {
            int d = p[i + 1].first - p[i].first;
            int r = p[i + 1].second - p[i].second;
            if (d < 0 || r < 0) {
                T = -1;
                break;
            }
            res *= comb::C(d + r, d);
        }
        if (T >= 0)f[T] = res;
    }

    auto g = mobius(f);
    reverse(all(g));
    auto h = zeta(g);
    reverse(all(h));
    each(ans, h) {
        printf("%d\n", ans.toi());
    }
}